Persamaan dan Fungsi Kuadrat
A.
Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dalam x mempunyai
bentuk umum:
ax2 +
bx + c = 0 , a ¹ 0 a,
b dan c adalah bilangan real.
a. Menyelesaikan
persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
ax2 + bx +
c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0.
Nilai x1 dan x2 disebut
akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh 1 :
Selesaikan x2 – 4 x +
3 = 0
Jawab: x2 – 4 x +
3 = 0
(x – 3) (x – 1)
= 0
x – 3 = 0 atau x –
1 = 0
x = 3 atau x =
1
Jadi,
penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
b. Menyelesaikan
persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan
kuadrat ax2 + bx + c = 0
dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.
Contoh 1:
Tentukan
himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.
Jawab:
x2 –
6 x + 5 = 0
x2 – 6 x +
9 – 4 = 0
x2 – 6 x +
9 = 4
(x –
3)2 =
4
x – 3 = 2 atau x – 3 = –2
x = 5
atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1
, 5}.
1. Menyelesaikan
persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus
Rumus
penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x +
c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan
himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.
Jawab:
x2 +
7x – 30 = 0
a = 1 , b = 7
, c = – 30
x = 3 atau x =
–10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{–10 , 3}.
2.
Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita
perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx +
c = 0 dengan akar-akarnya , b2 –
4ac disebut diskriminan (D).
Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih
dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:
1. x2 + 5 x + 2 = 0
Jawab :
1. x2 + 5 x + 2 = 0
a = 1 , b = 5
, c = 2
D
= b2 –
4ac = 52 –
4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata
D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai
dua akar real berlainan.
3.
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
1. Persamaan kuadrat ax2 + bx +
c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.
ax2 + bx +
c = 0
x2 +x + =
0
Karena x1 dan x2 merupakan
akar-akar persamaan kuadrat, maka :
Jadi, , .
Contoh:
Akar-akar x2 – 3x +
4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa
menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:
1. x1 + x2 d.
2. x1.x2 e. x13 + x23
3. x12 + x22
Jawab: x2 – 3 x +
4 = 0 ® a = 1 , b =
–3 , c = 4
a. x1 + x2 = 3
b. x1.x2 = 4
c. x12 + x22 = x12 + x22 + 2 x1.x2 – 2 x1.x2
=
(x1 + x2)2 – 2 x1 x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1
e.
(x1 + x2)3 = x13 + 3 x12 x2 + 3 x1 x22 + x23
= x13 + 3 x1 x2 (x1 + x2) + x23
x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3 x1 x2 (x1 + x2)
=
33 –
3 . 4 (3)
= 27 – 36 = –9
4.
Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:
v menggunakan perkalian faktor,
v menggunakan jumlah dan hasilkali
akar-akar.
a. Menyusun persamaan
kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor
Pada
bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p
x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai
(x – x1) (x – x2) = 0 sehingga
diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2.
Dengan demikian jika akar-akar
persamaan
kuadrat x1 dan x2 maka
persamaannya adalah (x – x1)
(x – x2) = 0.
Contoh 1:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya
3 dan -2.
Jawab:
(x – x1) (x – x2) = 0
(x – 3) (x –
(-2)) = 0
(x – 3) (x + 2)
= 0
x2 – 3 x +
2 x – 6 = 0
x2 – x –
6 = 0.
b. Menyusun persamaan
kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar
Persamaan .
Dengan
menggunakan x1 + x2 = – dan x1 x2 = , maka akan
diperoleh persamaan:
x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang
akar-akarnya –2 dan –3.
Jawab: x1 + x2 = -2 – 3 = – 5
x1 x2 = 6
Jadi,
persamaan kuadratnya x2 – (–5)x + 6 = 0
atau x2 + 5x + 6 = 0.
c. Menyusun persamaan
kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain
Seringkali kita mendapatkan suatu
persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang
lain.
Contoh 1:
Susunlah
persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 – 2x +
3 = 0.
Jawab:
Misal
akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. ® x1 + x2 = 2
, x1 x2 = 3.
Jika
akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q,
maka p = x1 + 3 dan q = x2+3
p + q = (x1 + 3) + (x2 +
3) p
q = (x1 + 3) (x2 + 3)
= x1 + x2 +
6
= x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9
= 2 + 6 =
8
= 3 + 2(2) = 9 = 18
Persamaan
kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q)
+ pq = 0.
Persamaan
kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0.
B. Fungsi
Kuadrat
1. Pengertian
Fungsi f pada R yang
ditentukan oleh: f(x) = ax2 +
bx + c dengan a, b,
dan c bilangan real dan disebut fungsi kuadrat.
Jika f(x)
= 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx +
c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu
disebut nilai pembuat nol fungsi f.
Nilai
fungsi f untuk x = p ditulis f(p) =
ap2 + bp + c.
Contoh
1:
Ditentukan: f(x)
= x2 –
6x – 7
Ditanyakan:
1. nilai pembuat nol fungsi f
2. nilai f untuk x = 0
, x = –2
Jawab:
1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) =
0
x2 – 6 x –
7 = 0
(x – 7) (x + 1)
= 0
x = 7 atau x = –1
Jadi pembuat nol fungsi f adalah
7 dan –1
2. Nilai Maksimum dan
Minimum Fungsi Kuadrat
Untuk menentukan nilai maksimum/minimum
fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:
1) f(x)
= x2 –
2x – 3
= x2 – 2x +
1 – 4
=(x –
1)2 –
4
Bentuk
kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2 mempunyai nilai
paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x –
1)2 – 4 mempunyai
nilai terkecil 0 – 4 = –4.
Jadi, f(x)
= x2 –
2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x =
1.
2) f(x)
= –x2 +
4x + 5
=
–x2 +
4x – 4 + 9
=
–(x2 –
4x + 4) + 9
=
–(x – 2)2 +
9
Nilai
terbesar dari – (x – 2)2 sama dengan nol untul x = 2.
Dengan
demikan nilai terbesar dari – (x – 2)2 +
9 adalah 0 + 9 = 9.
Jadi, f(x)
= –(x – 2)2 + 9 atau f(x) = –x2 + 4x +
5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.
Sekarang
perhatikan bentuk umum f(x) = ax2 + bx + c
Dengan uraian di atas, diperoleh:
Fungsi
kuadrat f(x) = a x2 + b x +
c
Untuk a > 0, f mempunyai
nilai minimum untuk
Untuk a < 0, f mempunyai
nilai maksimum untuk
Contoh:
Tentukan
nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 + 4x +
7
Jawab:
f(x) = 2x2 + 4x +
7 , a = 2 , b =
4 , c = 7
Nilai minimum fungsi f =
5
3. Grafik Fungsi
Kuadrat
Grafik
fungsi kuadrat f : x ® y = a x2 + b x +
c grafiknya berbentuk parabola.
o Titik A dan titik B adalah
titik potong dengan sumbu-X.
o Titik C merupakan titik potong grafik
dengan sumbu-Y.
o Titik P merupakan titik balik/puncak
parabola.
o Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y
disebut sumbu simetri.
Cara melukis grafik fungsi kuadrat
dengan menentukan:
1)
Titik potong grafik dengan sumbu-X.
Titik potong itu terletak pada sumbu-X
sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0,
maka
a
x2 +
b x + c = 0. Karena a x2 + b x +
c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya titik potong dengan
sumbu-X tergantung pada D (diskriminan).
D > 0 ® terdapat dua titik potong
yang berlainan, yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0).
D = 0 ® terdapat satu titik
potong yang disebut titik singgung.
D < 0 ® tidak mempunyai titik potong
dengan sumbu-X.
2)
Titik potong dengan sumbu-Y.
Karena titik potong terletak pada
sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x= 0. Sehingga
koordinatnya (0 , c).
3)
Sumbu simetri
Karena sumbu simetri adalah garis yang
melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri adalah:
4)
Titik Puncak/ Balik
Koordinat titik puncak
Catatan:
o Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a
x2 +
b x + c berbentuk parabola.
o Parabola terbuka ke atas jika a >
0.
o Parabola terbuka ke bawah jika a <
0.
Contoh:
Buatlah
sketsa grafik y = x2 – 2x –
3 untuk x e R.
Jawab:
Titik potong dengan sumbu-X diperoleh
jika y = 0.
x2 – 2x –
3 = 0
(x – 3) (x + 1)
= 0
x = 3 dan x =
–1
Koordinat titik potongnya adalah : A(3 ,
0) dan B(–1 , 0)
Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh
jika x = 0
y = 0 – 0 – 3 = – 3
Koordinat titik potongnya C(0
, –3)
Sumbu simetri, garis
Titik puncak ® D(1 , –4)
Hubungkan titik-titik A, B, C,
dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik fungsi
y = x3 – 2x – 3.
4.
Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu
a. Fungsi kuadrat yang
grafiknya melalui tiga buah titik
Contoh:
Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat
yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).
Jawab :
Misal
persamaan grafik adalah y = a x2 + b x +
c
Grafik
melalui titik (–1 , 0) ® 0 = a(–1)2 + b (–1)
+ c
0 = a – b + c ……………….
(1)
Grafik
melalui titik (1 , 8) ® 8 =a (1)2 + b (1)
+ c
8 = a + b + c ……………….
(2)
Grafik
melalui titik ( 2 , 6 ) ® 6 = a (2)2 + b (2)
+ c
6 = 4 a + 2 b + c ……………
(3)
Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat
ditentukan nilai a, b, dan c dengan
cara eliminasi.
(1) a – b + c =
0 (2) a + b + c =
8
a – b + c = 0
(2) a + b + c =
8
(3) 4a + 2b + c = 6
–2 – 4 + c = 0
–2b = –8
3a – b =
2
c = 6
b =
4
– 3a –
4 = 2
a = –2
Jadi,
fungsi kuadrat itu adalah y = –2x2 + 4x +
6.
b.
Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X
Misalkan titik potongnya (p ,
0) dan (q , 0).
(p ,
0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2 + b x +
c sehingga 0= ap2 + bp + cdan
0= aq2 + bq + c .
Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:
0
= a(p2 – q2) + b(p – q)
b(p – q) = –a(p2 – q2)
= –a(p + q)
(p – q)
b = – a(p + q)
Substitusikan b =
– a(p + q) ke ap2 + bp + c =
0
ap2 + (– a(p + q)) p + c =
0
ap2 – ap2 – pqa + c =
0
c = pqa
Untuk b = – a(p + q)
dan c = pqa maka
y = a x2 + b x +
c Û y = ax2 – a(p + q)x +
pqa
=
a(x2 – (p + q)x +
pq)
= a(x – p)
(x – q)
Jadi, y = a(x – p)
(x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong
sumbu-X di (p,0) dan (q,0).
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong
sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) !
Jawab:
Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0)
dan (1,0), maka fungsi kuadratnya
y = a(x – (–5)) (x –
1)
= a(x + 5) (x –
1)
Grafik melalui titik (–3, –8), berarti
–8 = a(–3+5) (–3 – 1)
= –8a
a = 1
Substitusikan a
= 1 pada y = a(x + 5) (x –
1) sehingga diperoleh y = x2 + 4x –
5.
Jadi,
fungsi kuadratnya adalah y = x2 + 4x –
5.
c. Menentukan fungsi
kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui
Koordinat
titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx +
c adalah .
Dengan
melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2 + bx +
c dapat
dinyatakan dengan .
Sehingga
fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q)
adalah y = a (x – p)2 + q
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya
mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).
Jawab:
Fungsi
kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah y = (x –
1)2 +
3
Grafik melalui titik (0,0) berarti:
0 = a(0 – 1) + 3
0 = a + 3
a = –3
Substitusikan a =
–3 pada y = a (x – 1)2 + 3 maka
diperoleh
y = –3 (x – 1)2 + 3
y = –3 (x2 – 2x +
1) + 3
y = –3x2 + 6x
Jadi,
fungsi kuadratnya adalah y = –3x2 + 6x.
d. Fungsi
kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X
Perhatikan
kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan
menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 – 4ac =
0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah (,0).
Sehingga .
Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya
menyinggung sumbu-X adalah .
Sehingga
fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)2
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya
menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !
Jawab:
Fungsi kwadrat yang grafiknya
menyinggung sumbu X di (2,0) adalah
y = a (x – 2)2
Grafik melalui titik (0,4) berarti :
4
= a(0 – 2)2 = 4a
a = 1
Jadi,
fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)2 atau y
= x2 –
4x + 4.
Pemakaian Diskriminan
Persamaan Kuadrat
Pada
sub bab terdahulu, telah dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c
=0 yaitu D = b2 – 4ac . Selain itu
dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Pada bagian ini akan dibahas pemakaian
diskriminan yang berhubungan dengan :
1. jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
2. tanda-tanda fungsi kuadrat
3. garis dan parabola
b. Tanda-tanda fungsi
kuadrat
Kedudukan parabola y = a
x2 + b x + c terhadap sumbu-X tergantung
pada nilai a dan nilai diskriminan .
1. Berdasarkan tanda a
a > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik
balik minimum (parabola terbuka ke atas).
a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik
balik maksimum (parabola terbuka ke bawah).
1. Berdasarkan tanda D = b2 – 4 a c
D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong
sumbu-X di dua titik yang berlainan.
D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di
dua titik yang sama atau parabola menyinggung sumbu-X.
D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong
sumbu-X dan juga tidak menyinggung sumbu-X.
Dengan menggabungkan tanda-tanda a dan
tanda-tanda D, diperoleh kemungkinan bentuk-bentuk parabola sebagai
berikut:
Dengan memperhatikan gambar-gambar di
atas, diperoleh kesimpulan:
Fungsi
kuadrat yang dinyatakan dengan f(x) = a x2 + b x +
c = 0 , a ¹ 0.
Untuk a >
0:
1) D
> 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1)
(x – x2)
f(x) > 0 untuk x <
x1 dan x > x2
f(x) < 0 untuk x1< x < x2
2) D
= 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1)2
f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali
untuk x = x1 maka f(x) = 0
3) D
< 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi
f(x) selalu positif untuk setiap x ,
disebut definit positif.
Untuk a <
0:
1) D
> 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1)
(x – x2)
f(x) < 0 untuk x <
x1 dan x > x2
f(x) > 0 untuk x1< x < x2
2) D
= 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1)2
f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali
untuk x = x1 maka f(x) = 0
3) D
< 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi :
f(x) selalu positif untuk setiap x ,
disebut definit negatif.
Contoh 1:
Tentukan
batas-batas nilai p agar fungsi f(x)
= x2 –
4 x – m + 2 definit positif.
Jawab:
f(x) = x2 – 4 x – m +
2
Syarat agar fungsi kuadrat definit
positif adalah a > 0 dan D < 0.
a = 1 bilangan positif
D
= (–4)2 –
4 (1) (–m + 2) = 16 + 4 m – 8
= 4 m + 8
D < 0 « 4 m +
8 < 0
m < –2
Jadi,
agar f(x) = x2 – 4 x – m + 2
definit positif, maka m < –2
0 Komentar untuk "PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT"